Звоните: +7 903 280-81-91
(Глеб Валентинович)

ЕГЭ по математике ЕГЭ по химии ОГЭ по математике ОГЭ по химии Высшая математика Химия студентам Математика Математика. Тесты
На главную Обо мне. Отзывы Контакты Условия и цены Вопрос - ответ Карта сайта Химия. Справочник Химия. Тесты


Главная > Все статьи > Проценты. Часть II


Задачи "на проценты". Часть II

Мы продолжаем рассматривать задачи, связанные с процентами. В первой части обсуждались базовые определения и свойства. В данном разделе мы выясним, как увеличить или уменьшить число на несколько процентов и рассмотрим некоторые другие вопросы. Если все это кажется вам очевидным, вы можете сразу переходить к 3 - 5 частям этой статьи.


Как увеличить число на несколько процентов. Способ I

Начнем с легкого примера:

Пример 5. Цена рубашки увеличилась на 20%. Сколько стоит рубашка теперь, если до подорожания она стоила 2400 рублей?

1) Найдем 20% от числа 2400. В первой части статьи мы обсудили подробно, как это делается. Чтобы найти 20% от 2400, необходимо умножить 2400 на двадцать сотых: 2400*0,2 = 480.
2) Рубашка стоила 2400 р, цена выросла на 480р, теперь рубашка стоит 2400 + 480 = 2880р.
Ответ: 2880р.

Если нам нужно уменьшить число на несколько процентов, рассуждения будут аналогичными.

Задание 7. Увеличьте число 250 на 40%. Уменьшите 330 на 12%.

Задание 8. Куртка стоила 18500 р. Во время распродажи цена была снижена на 20%. Сколько стоит куртка теперь?


Как увеличить число на несколько процентов. Способ II

Давайте попробуем решить предыдущую задачу чуть быстрее.

В ходе решения мы добавляем к числу 2400 двадцать процентов: 2400 + 2400*0,2.
Вынесем общий множитель за скобки и получим: 2400*(1 + 0,2) = 2400*1,2.
Вывод: чтобы увеличить число на 20%, следует умножить его на 1,2.

А теперь сформулируем общее правило. Предположим, что нам надо увеличить число A на t%. t% от А - это t сотых. Получаем:

A+A t 100 =A(1+ t 100 )
Приходим к следующему общему правилу:
Чтобы увеличить число A на t%, необходимо умножить A на (1+ t 100 ) .
Пример 6. Увеличьте число 120 на 17%, число 200 - на 2%, число 10 - на 120%.

120(1+ 17 100 )=1201,17=140,4 200(1+ 2 100 )=2001,02=204 10(1+ 120 100 )=102,2=22

Возможно, пока не очень заметно, насколько способ №2 проще и быстрее в сравнении со способом №1. В конце этой части статьи мы рассмотрим решение задачи, где преимущества второго способа станут очевидными. А сейчас - очередное задание для самостоятельной работы.

Задание 9. Увеличьте число 1200 на 4%, число 12 - на 230%, число 57 - на 30%.


Как уменьшить число на несколько процентов

Буквально дословно повторяя рассуждения из предыдущего параграфа, приходим к следующему правилу:

Чтобы уменьшить число A на t%, необходимо умножить A на (1 t 100 ) .
Пример 7. Ночью в комнате было 30 комаров. К утру их количество уменьшилось на 40%. Сколько комаров осталось в комнате?

Мы должны уменьшить число на 40%, т. е. умножить 30 на (1 40 100 )=10,4=0,6 .
30*0,6 = 18.
Ответ: 18 комаров.

Задание 10. Уменьшите число 12 на 20%, уменьшите число 14290 на 95%.


Два раза по 10% - это не 20%!

Пример 8. Две куртки стоят по 14000 р. Цену одной из них увеличили на 10%, а затем - еще на 10%. Цену второй куртки сразу увеличили на 20%. Какая куртка стоит теперь дороже?

"Почему одна из них должна быть дороже?" - в недоумении спрашивает читатель. - "Куртки ведь стоили одинаково, 20% - это два раза по 10%, значит теперь они тоже стоят одинаково."

Давайте попробуем разобраться в ситуации. Первая куртка дважды дорожала на 10%, т.е. стоимость ее дважды увеличивалась в 1,1 раза. Итог: 14000*1,1*1,1 = 16940 (р). Вторая куртка сразу подорожала на 20%, ее цена была увеличена в 1,2 раза. Считаем: 14000*1,2 = 16800. Как видим, цены получились разными, первая куртка подорожала сильнее.

"Но почему же 10% + 10% не равно 20%?" - спросите вы.

Проблема в том, что 10% первый раз берется от 14000 р, а второй раз - уже от увеличенной цены.

10% от 14000р = 1400р. После первого подорожания куртка стоит 14000 + 1400 = 15400 (р). Теперь мы вновь переписываем ценник. Берем 10%, но уже не от 14000, а от 15400: 15400*0,1 = 1540 (р). Складываем 1540 и 15400 - получаем окончательную цену куртки - 16940р.

Задание 11. Если бы начальная цена куртки была другой, изменился бы ответ? Подумайте над этим вопросом: возьмите несколько вариантов начальной цены, проведите расчеты. Попробуйте доказать, что два 10%-ных подорожания всегда приводят к более высокой цене, нежели одно 20%-ное повышение.


Подняли цену на 20%, затем снизили на 20%. Вернулись к исходной цене?

Пример 9. Собственно, задача уже поставлена в заголовке. Чтобы легче было рассуждать, давайте немного модернизируем ее. Куртка стоит 16000р. Цену увеличили на 20%, а на следующий день - снизили на 20%. Правда ли, что теперь куртка вновь стоит 16000р?

Нет, неправда. Короткое решение: 16000*1,2*0,8 = 15360р - цена куртки снизилась.

Длинное решение. Сначала цена куртки увеличилась на 20%, т. е. на 16000*0,2 = 3200р. На новом ценнике - 16000 + 3200 = 19200 (р). На следующий день цену снижают на 20%. Но это уже 20% не от 16000, а от 19200: 0,2*19200 = 3840 р. 19200 - 3840 = 15360 (р).

Понятно, почему в итоге цена стала ниже: 20% от 19200 больше, нежели 20% от 16000.

И вновь советую вам подумать о том, как изменился бы ответ, если бы начальная цена куртки была другой? Проведите несколько опытов: возьмите разные начальные цены, проведите вычисления и убедитесь, что итоговая цена окажется ниже, причем всегда на одинаковое количество процентов. А сможете ли вы решить эту задачу в общем виде, т. е. выяснить, на сколько процентов снизится цена куртки после последовательного 20%-ного повышения и 20%-ного снижения? Попробуйте! Если не сможете справиться самостоятельно, посмотрите 3-ю часть этой статьи.


Несколько изменений ценника

Пример 10. В январе стоимость квартиры в новом доме составляла 12000000р. В феврале она увеличилась на 5%, в марте - снизилась на 3%, в апреле вновь выросла на 7%, в мае снизилась на 10%. Сколько стоит квартира теперь?

Решение. Я надеюсь, что юные математики, вооруженные опытом примеров 8 и 9, не станут утверждать, что цена изменилась на 5% - 3% + 7% - 10% = -1%. Это грубая ошибка! Изменение цены каждый раз происходит от новой суммы, поэтому нельзя просто складывать - вычитать в надежде получить финальное изменение в процентах.

Приведу сначала подробное решение.

Первое увеличение цены - это 5% от 12 000 000 = 600 000 (р).
12 000 000 + 600 000 = 12 600 000 (р).
Первое снижение цены - это 3% от 12 600 000 = 378 000 (р).
12 600 000 - 378 000 = 12 222 000 (р).
Второе повышение цены - это 7% от 12 222 000 = 855 540 (р).
12 222 000 + 855 540 = 13 077 540 (р).
Финальное снижение цены на 10% - это 10% от 1 307 7540 = 1 307 754 (р).
13 077 540 - 1 307 754 = 11 769 786.
У-ф-ф-ф, выдохнули!

Вам нравится подобное решение? Мне - нет! Зачем эти 8 действий, если все можно уместить в одну строчку:

12 000 000*1,05*0,97*1,07*0,9 = 11 769 786 (р).

Я специально привел эти два решения, чтобы вы осознали, насколько проще пользоваться способом №2 по сравнению со способом №1. К сожалению, школьники редко применяют второй способ, предпочитая длинные рассуждения, наподобие тех, которые мы привели выше. Нужно постепенно отказываться от этой дурной привычки!


Тест №2

Вам вновь предлагается короткий тест. Напоминаю, что ответом (как и на ЕГЭ по математике) является целое число или конечная десятичная дробь. В качестве разделителя десятичных разрядов всегда используйте запятую (например, 1,2, но не 1.2!) Успехов!

01. После увеличения числа 135 на 20% получим:


02. Если уменьшить число 12 на 40%, результатом будет число:


03. Чайник продавался за 4200р. Цена была увеличена на 10% в январе и еще на 10% - в феврале. Сколько р стоит чайник теперь?


04. В понедельник на складе было 1200 коробок с чаем, во вторник их количество снизилось на 30%, в среду - выросло на 30% (по сравнению с предыдущим днем). Сколько коробок находилось на складе в среду?


05. За первый час улитка проползла 20 см, за второй - на 10% больше, за третий - еще на 20% больше, за четвертый - еще на 30% больше. Сколько см проползла улитка в течение 4-го часа?





В следующей части мы продолжим обсуждать задачи "на проценты" и рассмотрим более сложные примеры.


← Начало статьи           Продолжение статьи →



Понравился сайт? Поделитесь ссылкой!
Копирайт

Воспроизведение материалов данного сайта возможно только с письменного согласия владельца сайта и при условии размещения активной ссылки на главную страницу данного ресурса.
Незаконное копирование будет преследоваться всеми возможными способами.


Copyright Repetitor2000.ru, 2000-2018.



 
Контакты
  • Телефон: 8-903-280-81-91 (Глеб Валентинович)
  • Эл. почта: teacher2002@mail.ru
  • Скайп: repetitor2000


Карта сайта



 
Счетчики

Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru